Manual de preparación PSU Matemática. Varios autores
Чтение книги онлайн.

Читать онлайн книгу Manual de preparación PSU Matemática - Varios autores страница 28

Название: Manual de preparación PSU Matemática

Автор: Varios autores

Издательство: Bookwire

Жанр: Учебная литература

Серия:

isbn: 9789561426771

isbn:

СКАЧАТЬ 4.8 Potencias de números complejos

      Si z Image y n Image, la potencia zn se define como la multiplicación de z por sí mismo n veces.

      Para exponentes negativos se tiene que z–n = Image. Si n = 0, se define z0 = 1, para todo z ≠ 0.

      Se puede calcular la potencia de un número complejo utilizando las expresiones del cuadrado y del cubo de binomio y luego remplazar los valores de las potencias de i cuando corresponda.

      Para calcular potencias de mayor grado, se pueden combinar las propiedades de las potencias con cuadrados y cubos de un binomio.

       Actividad resuelta

       Calcula el valor de la potencia de cada número complejo.

Image

       Actividades

       1. Calcula el valor de las siguientes potencias.

Image

      Se define la raíz cuadrada de un número complejo z como un número complejo w, tal que w2 = z, es decir, Image.

      Para determinar las raíces cuadradas de un número complejo z = a + bi, con b ≠ 0, se puede plantear la ecuación a + bi = (x + iy)2, con x e y números reales. Luego, para resolverla se reescribe como un sistema de ecuaciones, esto es, escribiendo una ecuación para igualar las partes reales y otra, para las partes imaginarias. Si en algún caso se obtuviera que x o y no fueran números reales, dicho caso se descarta. A partir de este proceso, se tiene que siempre existe, y corresponde a dos números complejos distintos, que tienen como característica que son inversos aditivos uno del otro.

       Actividades resueltas

       1. Determina las raíces cuadradas de z = 6i.

      Se buscan los números complejos w = x + iy, tales que w2 = z. Es decir:

Image

       2. ¿Cuáles son las raíces cuadradas de z = 2i?

      Se resuelve la ecuación (x + iy)2 = 2i, luego se tiene:

Image

       Actividades

       1. Calcula las raíces cuadradas de cada número complejo.

      a) z1 = 4i

      b) z2 = 3 – 4i

      c) z3 = 15 + 8i

      Dado un número complejo z = a + bi, representado en el plano de Argand, se tienen las siguientes relaciones:

Image

       Actividades resueltas

       1. Escribe en forma polar el número complejo z = 1 + i.

Image

      Para profundizar el estudio de las razones trigonométricas puedes revisar el Anexo de Trigonometría (pág. 326).

       2. ¿Cuál es la forma polar del número complejo z2 representado en el plano de Argand?

Image

       Actividades

       1. Representa en forma polar los siguientes números complejos.

Image

      Dado un número complejo z = |z| (cos(θ) + i sen(θ)), se tiene que:

      • La potencia enésima es: zn = |z|n (cos(n • θ) + i sen(n • θ)), n Image.

      • La raíz enésima es: Image

      Así, se obtienen n raíces, cuyos ángulos correspondientes tienen una diferencia igual a Image.

      Al representarlas en el plano de Argand, se obtienen n puntos sobre una circunferencia con centro en el origen y radio Image.

       Actividad resuelta

       Si la representación en forma polar del número z = –2 + 2i es z = Image (cos(135˚) + i sen(135˚)), calcula z3 Image

Image

      Con los valores de k se obtienen las 3 raíces, que en este caso son w0, w1 y w2.

Image Image

       СКАЧАТЬ