Manual de preparación PSU Matemática. Varios autores

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4.9 Raíces cuadradas de números complejos

      Se define la raíz cuadrada de un número complejo z como un número complejo w, tal que w² = z, es decir, .

      Para determinar las raíces cuadradas de un número complejo z = a + bi, con b ≠ 0, se puede plantear la ecuación a + bi = (x + iy)², con x e y números reales. Luego, para resolverla se reescribe como un sistema de ecuaciones, esto es, escribiendo una ecuación para igualar las partes reales y otra, para las partes imaginarias. Si en algún caso se obtuviera que x o y no fueran números reales, dicho caso se descarta. A partir de este proceso, se tiene que siempre existe, y corresponde a dos números complejos distintos, que tienen como característica que son inversos aditivos uno del otro.

       Actividades resueltas

       1. Determina las raíces cuadradas de z = 6i.

      Se buscan los números complejos w = x + iy, tales que w² = z. Es decir:

       2. ¿Cuáles son las raíces cuadradas de z = 2i?

      Se resuelve la ecuación (x + iy)² = 2i, luego se tiene:

       Actividades

       1. Calcula las raíces cuadradas de cada número complejo.

      a) z₁ = 4i

      b) z₂ = 3 – 4i

      c) z₃ = 15 + 8i

4.10 Números complejos en forma polar

      Dado un número complejo z = a + bi, representado en el plano de Argand, se tienen las siguientes relaciones:

       Actividades resueltas

       1. Escribe en forma polar el número complejo z = 1 + i.

      Para profundizar el estudio de las razones trigonométricas puedes revisar el Anexo de Trigonometría (pág. 326).

       2. ¿Cuál es la forma polar del número complejo z₂ representado en el plano de Argand?

       Actividades

       1. Representa en forma polar los siguientes números complejos.

4.11 Potencias y raíces de números complejos en forma polar

      Dado un número complejo z = |z| (cos(θ) + i sen(θ)), se tiene que:

      • La potencia enésima es: zⁿ = |z|ⁿ (cos(n • θ) + i sen(n • θ)), n .

      • La raíz enésima es:

      Así, se obtienen n raíces, cuyos ángulos correspondientes tienen una diferencia igual a .

      Al representarlas en el plano de Argand, se obtienen n puntos sobre una circunferencia con centro en el origen y radio .

       Actividad resuelta

       Si la representación en forma polar del número z = –2 + 2i es z = (cos(135˚) + i sen(135˚)), calcula z³

      Con los valores de k se obtienen las 3 raíces, que en este caso son w₀, w₁ y w₂.

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