Готовые дидактические материалы для тренировки устного счета: теорема Виета. 600 примеров. Дмитрий Юрьевич Усенков

Чтение книги онлайн.

      Данное пособие призвано хотя бы частично устранить этот дефицит и содержит 600 готовых примеров квадратных уравнений с целыми корнями, а также ответы на эти примеры для проверки и самоконтроля.

      При использовании в классно-урочной форме работы учитель может использовать текст пособия в качестве готового раздаточного материала, а после выполнения работы учащимися произвести проверку по имеющимся готовым ответам.

      При использовании пособия для самостоятельной подготовки вы можете использовать ответы для самопроверки после решения выбранных примеров.

      Ответы записаны в форме разложения квадратного уравнения на множители; если требуется получить значения самих корней, то нужно константные слагаемые в скобках брать с противоположными знаками.

      Примечание. При использовании формулы Виета дискриминант квадратного уравнения должен быть неотрицательным. В случае, если дискриминант равен нулю, считается, что данное уравнение имеет два равных друг другу корня.

      Теорема Виета (краткие теоретические сведения)

      Формулировка теоремы Виета:

      Сумма корней x² + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

      Таким образом, если уравнение x² + bx + c = 0 имеет два корня: x₁ и x₂, то справедливы следующие два равенства:

      Согласно этим равенствам, для получения решения квадратного уравнения необходимо подбором найти два числа, сумма которых равна коэффициенту при x, взятому с обратным знаком, а произведение равно свободному члену. Следует заметить, что при этом исходное квадратное уравнение должно быть приведено к виду, когда коэффициент a при x² равен единице.

      Доказательство теоремы Виета

      Докажем теорему Виета.

      Формулы для вычисления корней квадратного уравнения (рассматривается ситуация, когда дискриминант D положителен; уравнение с нулевым дискриминантом можно считать частным случаем):

      Вычислим сумму этих корней:

      Раскрыв скобки и сократив слагаемые, получаем:

      .

      Вычислим произведение корней:

      Применив в числителе формулу разности квадратов, получаем:

      Подставляем известную нам формулу для вычисления дискриминанта:

      Получаем:

      Таким образом, оба равенства теоремы Виета доказаны.

      Обратная теорема Виета

      Формулировка обратной теоремы Виета:

      Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x² + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x² + bx + c = 0.

      Доказательство обратной теоремы Виета читатели могут произвести самостоятельно.

      Задания для самостоятельного решения

      1. x² – 28x + 171 = 0

      2.      x² + 8x – 180 = 0

      3.      x² – 10x – 75 = 0

      4.      x² + 22x + 72 = 0

      5.      x² + 0x – 289 = 0

      6.      x² – 6x – 160 = 0

      7.      x² + 1x – 30 = 0

      8.      x² – 2x – 120 = 0

      9.      x² – 14x + 40 = 0

      10.      x² + 7x – 18 = 0

      11.      x² – 6x – 160 = 0

      12.      x² + 3x – 10 = 0

      13.      x² + 6x – 7 = 0

      14.      x² – 20x + 19 = 0

      15.      x² + 5x – 50 = 0

      16.      x² – 8x – 9 = 0

СКАЧАТЬ