Вычислительная математика. Валерий Федорович Альмухаметов

Чтение книги онлайн.

СКАЧАТЬ еизвестна, или слишком сложна; величины, которые используются в вычислениях, заданы неявно; коэффициенты, содержащиеся в уравнениях, известны лишь приблизительно. Поэтому важное значение приобретают способы приближенного нахождения решения и оценки степени их точности.

      Предлагаются к изучению простейшие численные модели, решение систем линейных уравнений, численное интегрирование и дифференцирование, методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, методы конечных разностей решения уравнений в частных производных.

      Методы вычислительной математики применяются также для поиска экстремального значения целевой функции в оптимизационных задачах, в том числе в нелинейных.

      При обработке результатов эксперимента часто возникает задача построения эмпирической формулы, дающей аналитическое выражение функциональной зависимости, заданной таблицей. Для этого пользуются аппроксимацией функций по способу наименьших квадратов.

      При использовании численных методов необходимо помнить о физической сущности рассматриваемых математических задач.

      Некоторые задачи вычислительной математики можно решить, используя возможности табличного процессора Excel. Практически все задачи вычислительной математики можно решить в среде программного продукта Mathcad.

      ©Альмухаметов В.

      НАХОЖДЕНИЕ ПОЛИНОМА ПО СХЕМЕ ГОРНЕРА

      Для вычисления полинома n-й степени можно использовать схему Горнера: Y=((…((a_n*x +a_n-1)*x + a_n-2)*x +… +a₂)*x + a₁)*x + a₀

      рекуррентная формула при этом выражается в виде:

      i = n Y_i = а_n Y_{i – 1}= Y_i x + a_i

      Алгоритм метода

      

      Пример программы на языке Pascal

      VAR N,I:INTEGER;X,Y:REAL;A:ARRAY[0..10] OF REAL;

      BEGIN

      WRITE('Введите N=');READLN(N);

      WRITE('Введите X=');READLN(X);

      WRITELN('Введите коэффициенты:');

      FOR I:=0 TO N DO BEGIN

            WRITE('A[',I,']=');READLN(A[I]);END;

                  Y:=A[N];

      FOR I:=N-1 DOWNTO 0 DO Y:=Y*X+A[I];

      WRITELN('Результат Y=',Y); END.

      ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

      Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла. Отрезок (ab) разбивается на определенное число интервалов N, в зависимости от требуемой точности вычисления.

      Формула ПРЯМОУГОЛЬНИКА             

      шаг:            h=(b-a)/N

      Геометрическая интерпретация метода:

      

      Формула ТРАПЕЦИИ

      

      шаг:            h=(b-a)/N            О – показатель точности вычислений

      Геометрическая интерпретация метода:

      

      Алгоритм метода трапеций:

      

      Решить задачу:

      Методом трапеций найти значение интеграла функции Y = x – Cos(x) в пределах от 0 до 2.

      Пример программы (Pascal):

      PROGRAM P10;

      FUNCTION FUN(X:REAL):REAL;

      BEGIN

      FUN:=X-COS(X); END;

      VAR H,X,Y,A,B:REAL; I,N:INTEGER;

      BEGIN

      WRITELN('Ввести данные A(0),B(2),N(1000) = ');

      READ(A,B,N);

      X:=0; Y:=0; H:=(B-A)/N;

      FOR I:=1 TO N-1 DO BEGIN

      X:=X+H;Y:=Y+FUN(X);END;

      Y:=H/2*(FUN(A)+FUN(B)+2*Y);WRITELN('Результат= ',Y);

      END.

      (Результат для 1000 шагов: 1.09070287627348)

      Решить задачу:

      Задача. Найдите значение определенного интеграла от функции

на интервале [1; 4], количество разбиений n = 52.

      Пример программы на языке Pascal

      CONST       N = 52;      A = 1;      B = 4;

      VAR       Y0, YN, X, S, H: REAL;I: INTEGER;

      BEGIN

      H := (B-A)/N;      Y0 := SQR(LN(A))/A;

      YN := SQR(LN(B))/B;      S СКАЧАТЬ