Занимательные науки. Яков Перельман

Чтение книги онлайн.

      Для разъяснения вопроса придется сказать несколько слов о картах вообще и о морских в частности. Изображение на бумаге частей земной поверхности – дело непростое даже в принципе, потому что Земля – шар, а известно, что никакую часть шаровой поверхности нельзя развернуть на плоскости без складок и разрывов. Поневоле приходится мириться с неизбежными искажениями на картах. Придумано много способов черчения карт, но все карты не свободны от недостатков: на одних имеются искажения одного рода, на других иного рода, но карт вовсе без искажений нет.

      Моряки пользуются картами, начерченными по способу старинного голландского картографа и математика XVI в. Меркатора. Способ этот называется «меркаторской проекцией». Узнать морскую карту легко по ее прямоугольной сетке: меридианы изображены на ней в виде ряда параллельных прямых линий; круги широты – тоже прямыми линиями, перпендикулярными к первым (см. рис. 5).

      Вообразите теперь, что требуется найти кратчайший путь от одного океанского порта до другого, лежащего на той же п а р а л л е л и. На океане все пути доступны, и осуществить там путешествие по кратчайшему пути всегда возможно, если знать, как он пролегает. В нашем случае естественно думать, что кратчайший путь идет вдоль той параллели, на которой лежат оба порта: ведь на карте – это прямая линия, а что может быть короче прямого пути! Но мы ошибаемся: путь по параллели вовсе не кратчайший.

      В самом деле: на поверхности шара кратчайшее расстояние между двумя точками есть соединяющая их дуга б о л ь ш о г о круга[1]. Но круг параллели – м а л ы й круг. Дуга большого круга менее искривлена, чем дуга любого малого круга, проведенного через те же две точки: большему радиусу отвечает меньшая кривизна. Натяните на глобусе нить между нашими двумя точками (ср. рис. 3); вы убедитесь, что она вовсе не ляжет вдоль параллели. Натянутая нить – бесспорный указатель кратчайшего пути, а если она на глобусе не совпадает с параллелью, то и на морской карте кратчайший путь не обозначается прямой линией: вспомним, что круги параллелей изображаются на такой карте прямыми линиями, всякая же линия, не совпадающая с прямой, есть к р и в а я.

      Рис. 3. Простой способ отыскания действительно кратчайшего пути между двумя пунктами: надо на глобусе натянуть нитку между этими пунктами

      После сказанного становится понятным, почему кратчайший путь на морской карте изображается не прямой, а кривой линией.

      Рассказывают, что при выборе направления для Николаевской (ныне Октябрьской) железной дороги велись нескончаемые споры о том, по какому пути ее проложить. Конец спорам положило вмешательство царя Николая I, который решил задачу буквально «прямолинейно»: соединил Петербург с Москвой по линейке. Если бы это было сделано на меркаторской карте, получилась бы конфузная неожиданность: вместо прямой дорога вышла бы кривой.

      Кто не избегает расчетов, тот несложным вычислением может убедиться, что путь, кажущийся нам на карте кривым, в действительности короче того, который мы готовы считать прямым. Пусть обе наши гавани лежат на 60-й параллели и разделены расстоянием в 60°. (Существуют ли в действительности такие две гавани – для расчета, конечно, безразлично.)

      Рис. 4. К вычислению расстояний между точками A и B на шаре по дуге параллели и по дуге большого круга

      На рис. 4 точка O – центр земного шара, AB – дуга круга широты, на котором лежат гавани A и B; в ней 60°. Центр круга широты – в точке C. Вообразим, что из центра O земного шара проведена через те же гавани дуга б о л ь ш о г о круга: ее радиус OB = OA = R; она пройдет близко к начерченной дуге AB, но не совпадет с нею.

      Вычислим длину каждой дуги. Так как точки A и B лежат на широте 60°, то радиусы OA и OB составляют с OC (осью земного шара) угол в 30°. В прямоугольном треугольнике ACO катет AC (=r), лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы AO; значит,

. Длина дуги AB составляет одну шестую длины круга широты, а так как круг этот имеет вдвое меньшую длину, чем большой круг (соответственно вдвое меньшему радиусу), то длина дуги малого круга

км.

      Чтобы определить теперь длину дуги большого круга, проведенного между теми же точками (т. е. кратчайшего пути между ними), надо узнать величину угла AOB. Хорда AB, стягивающая дугу в 60° (малого круга), есть сторона правильного шестиугольника, вписанного в тот СКАЧАТЬ