Как не ошибаться. Сила математического мышления. Джордан Элленберг

Чтение книги онлайн.

      45

      Есть объект, 2-адические числа, для которых этот довод, на первый взгляд бредовый, абсолютно корректен.

      Согласно теории Коши, сходимость ряда к пределу x означает, что когда вы суммируете все больше и больше членов этого ряда, итоговая сумма все больше приближается к значению x. Чтобы понять это, мы должны представлять, что значит «близость» двух чисел друг к другу. Оказывается, знакомое нам значение слова «близость» не единственное! В мире 2-адических чисел два числа считаются близкими друг к другу, если разность между ними представляет собой величину, кратную большой степени числа 2. Когда мы говорим, что ряд 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … сходится к значению −1, мы тем самым утверждаем, что частичные суммы 1, 3, 7, 15, 31… все больше приближаются к −1. В обычном понимании «близости» это не так, однако при использовании понятия 2-адической близости ситуация обстоит совсем иначе. Разность между числами 31 и −1 равна 32, что составляет достаточно малое 2-адическое число 25. Просуммируйте еще несколько членов этого ряда – и получите число 511, которое отличается от −1 на 512, еще меньшую величину (в 2-адическом смысле). Большая часть математики, которую вы знаете (анализ, логарифмы и экспоненциальные функции, геометрия), имеет аналог в мире 2-адических чисел (а также аналог в мире p-адических чисел для любого p). Взаимодействие между всеми этими концепциями близости являет собой отдельную историю – умопомрачительную и недосягаемо прекрасную.