Решение дифференциальных уравнений первой и второй степени с помощью ИИ. Вариант 1. Николай Морозов

Чтение книги онлайн.

      Для решения дифференциального уравнения y’ – y = e^x, мы можем воспользоваться методом вариации постоянных. Сначала найдем общее решение однородного уравнения y’ – y = 0.

      Характеристическое уравнение для этого уравнения: r – 1 = 0, откуда r = 1. Таким образом, общее решение однородного уравнения это y_h = C * e^x, где C – произвольная постоянная.

      Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Поскольку правая часть уравнения e^x является экспоненциальной функцией, предположим, что частное решение имеет вид y_p = a * e^x, где a – некоторая константа, которую нужно найти.

      Подставив y_p в исходное уравнение y’ – y = e^x, получим:

      a * e^x – a * e^x = e^x, 0 = e^x.

      Это уравнение не имеет решений, поэтому нужно скорректировать наше предположение. Так как правая часть уравнения e^x участвует в общем решении однородного уравнения, чтобы найти частное решение, умножим на x: y_p = a * x * e^x.

      Теперь подставим эту функцию в исходное уравнение:

      (a * e^x + a * x * e^x) – a * x * e^x = e^x,

      a * e^x = e^x, a = 1.

      Поэтому частное решение y_p = x * e^x. Таким образом, общее решение неоднородного уравнения y = y_h + y_p = C * e^x + x * e^x.

      Для проверки решения можно подставить y и y’ обратно в исходное уравнение y’ – y = e^x и убедиться, что равенство выполняется для всех значений x.

      ChatGPT 3.5 (Маша)